Премія Абеля 2026: За що дали «математичний Нобель» цього року?

Нобелівської премії математикам не вручають. І річ тут не в романтичних легендах про образу Альфреда Нобеля на них. Найімовірніше, причина значно прозаїчніша — він просто не вважав математику галуззю, досягнення в якій слід відзначати премією. У своєму заповіті Альфред Нобель чітко визначив перелік наук — і математики серед них не було.

Дізнавшись про це, видатний норвезький математик Софус Лі запропонував створити окрему нагороду, своєрідний «математичний аналог» Нобелівської премії — премію Абеля. Вона мала відзначати досягнення саме в чистій математиці й носити ім’я іншого великого норвежця — Нільса Генріка Абеля.

Чергове вручення цієї премії відбулося 26 травня 2026 року в Норвезькій академії наук, однак ім’я лауреата вже було оголошено у березні — це німецький математик Герд Фалтінгс. Премію він отримав за дослідження у галузі арифметичної геометрії — розділі математики, який, спрощено кажучи, дає змогу розглядати властивості чисел крізь призму геометричних об’єктів і «бачити» рівняння як форми.

Утім, історія цієї премії — не лише про відзнаки й лауреатів. Вона про те, як ідеї накопичуються, чекають і зрештою проростають. Іноді за десятиліття, іноді за століття — коли з’являється той, хто здатен їх побачити.

Чому саме Абель?

Нільс Генрік Абель (1802–1829) — постать, без якої важко уявити математику XIX століття. Він прожив лише 26 років, але встиг змінити цю науку. Із його відкриттями ми, самі цього не помічаючи, знайомимося ще в школі. Саме там ми вперше стикаємося з об’єктом, який у вищій математиці згодом назвуть абелевою групою. Хоча цей термін у шкільній програмі зазвичай не звучить, його зміст нам добре знайомий.

Якщо дуже просто, абелева група — це будь-яка система, де можна виконувати одну дію (наприклад, додавання), і при цьому діє п’ять зрозумілих правил.

По-перше, результат такої дії не «виходить» за межі цієї системи: якщо додаємо два цілі числа, отримуємо також ціле число. По-друге, неважливо, як ми групуємо дії: (a + b) + c дає той самий результат, що й a + (b + c). По-третє, є нуль, який нічого не змінює: 0 + a = a + 0 . По-четверте, кожне число має «протилежне», яке його обнуляє: a + (−a) = 0. І, нарешті, порядок не має значення — a + b дорівнює b + a.

Усе це здається очевидним, бо саме так поводяться звичайні числа. Але для математики це відкриття мало принципове значення: воно показало, що за простими правилами стоїть загальна структура, яка працює не лише для чисел, а й для значно складніших об’єктів.

І саме такі, на перший погляд, прості ідеї з часом стають фундаментом для цілих розділів сучасної математики.

І це лише один із численних слідів, які Абель залишив у науці. Серед іншого він довів неможливість розв’язання загального рівняння п’ятого ступеня в радикалах, заклав основи теорії еліптичних і абелевих функцій і зробив вагомий внесок у дослідження збіжності степеневих рядів.

Історія створення премії

Софус Лі, усвідомлюючи значення математики та масштаб постаті Абеля, використав свій міжнародний авторитет, аби зібрати підтримку для створення спеціального фонду. За його задумом, Абелівську премію мали вручати раз на п’ять років за видатні досягнення в чистій математиці. Втім, тоді цим планам так і не судилося здійснитися.

Однією з причин невдачі стала смерть головного натхненника — Софус Лі помер 1899 року. Попри підтримку провідних математичних центрів Європи, більшість домовленостей і контактів трималася саме на його особистому авторитеті. Коли його не стало, ці зусилля швидко зійшли нанівець.

До ідеї премії повернулися лише 1902 року. З нагоди сторіччя від дня народження Нільса Генріка Абеля норвезький король Оскар ІІ вирішив відродити цей задум. У співпраці з Науковим товариством Крістіанії (нині — Норвезька академія наук і літератури) математики Карл Стьормер і Людвіг Силов навіть розробили статут і правила майбутньої премії.

Здавалося, ще трохи — й нагороду таки буде засновано. Але вирішальним чинником, як це часто буває, стала політика. 1905 року розпався союз між Швецією та Норвегією, і в нових умовах у країни просто забракло коштів для реалізації такого амбітного проєкту.

Полярний дослідник Фрітьйоф Нансен, чий фонд свого часу надихнув Софуса Лі, із жалем зазначав: навіть за наявності підтримки з-за кордону Норвегія не змогла самостійно створити фонд Абеля. У листі 1906 року до математика Елінга Голста він гірко підсумував: «Абелівська премія, обіцяна покійним королем Оскаром, пішла на небо разом із унією».

На щастя, ідеї такого масштабу рідко зникають назавжди. Так і ця ідея лише чекала свого часу й повернулася майже за століття.

У серпні 2000 року біограф Абеля Арілд Стубгауг зустрівся з генеральним директором компанії Telenor Тормодом Хермансеном, щоб вдихнути нове життя в давній задум міжнародної премії імені Абеля. Ідею швидко підхопили в академічному середовищі: вже у березні 2001 року було створено робочу групу, яка активно взялася за її реалізацію.

Того ж року уряд Норвегії заснував фонд Абеля з початковим капіталом у 200 мільйонів норвезьких крон. А вже 2002 року — до 200-річчя від дня народження Абеля — було офіційно засновано премію.

Сьогодні премія Абеля має дві ключові місії: відзначати найвидатніші досягнення в математиці та популяризувати цю науку серед широкого загалу, особливо молоді.

Першу нагороду вручили 2003 року — її лауреатом став французький математик Жан-П’єр Серр.

За що вручено премію Абеля 2026 року?

Цього року премію Абеля присуджено німецькому математику, науковцю Інституту Макса Планка (Бонн, Німеччина) Герду Фалтінгсу (нар. 1954) «за впровадження потужних інструментів у арифметичну геометрію та доведення давно сформульованих діофантових гіпотез Морделла і Ленга». Цікаво, що Фалтінгс також є лауреатом іншої престижної математичної нагороди, яку теж часто називають Нобелівською премією для математиків, — медалі Філдса.

Герд Фалтінгс отримав премію за прорив у галузі арифметичної геометрії — науки, яка поєднує теорію чисел і геометрію.

Щоби зрозуміти, в чому тут суть, варто почати з простої ідеї. У математиці здавна вивчають рівняння, для яких потрібно знайти цілі або раціональні розв’язки. Наприклад, рівняння  має нескінченно багато цілих розв’язків — це так звані піфагорові трійки. Найвідомішою є (3, 4, 5).

Але якщо змінювати рівняння — наприклад, замість піднесення до квадрата використовувати куб чи вищі ступені, — ситуація значно ускладнюється: іноді розв’язок може бути єдиним або його взагалі немає. Така, здавалося б, незначна зміна умови призвела до формулювання однієї з «наймедійніших» математичних задач — Великої теореми Ферма, яка стверджує, що рівняння aⁿ+bⁿ=cⁿ не має цілих розв’язків, якщо n>2. Ця теорема залишалася без доведення й без спростування аж до 1995 року, коли її довів британський математик Ендрю Вайлс. До речі, за цей результат він отримав премію Абеля 2016 року.

Фалтінгс запропонував інший спосіб дивитися на ці проблеми. Замість того, щоб працювати лише з числами, він розглядав рівняння як геометричні об’єкти — криві. Виявилося, що властивості цих кривих можуть підказати, скільки розв’язків має рівняння. Тобто він показав, що складні задачі про числа можна розв’язувати, «перекладаючи» їх мовою геометрії.

Саме завдяки цьому підходу Фалтінгс довів гіпотезу Морделла: для великого класу рівнянь кількість розв’язків є скінченною.

Премію присудили саме за цей проривний підхід. Він відкрив нові можливості для розв’язання задач, які десятиліттями залишалися недосяжними.

Праці Фалтінгса в арифметичній геометрії й досі залишаються точкою відліку для нових досліджень: вони не лише дали змогу розв’язати давні математичні проблеми, а й відкрили зовсім інший спосіб бачити зв’язок між геометрією й теорією чисел. І саме в цьому переході від «обчислень» до «розуміння форми чисел» і полягає один із найважливіших зсувів у сучасній математиці.